一、填空題1.黑板上寫著8 ，9 ，10，11，12，13，14七個數，每次任意擦
去兩個數，再寫上這兩個數的和減1.例如，擦掉9 和13，要寫上21. 經過幾次后，
黑板上就會只剩下一個數，這個數是_____. 2. 口袋里裝有99張小紙片，上面分
別寫著1~99. 從袋中任意摸出若干張小紙片，然后算出這些紙片上各數的和，再
將這個和的后兩位數寫在一張新紙片上放入袋中。經過若干次這樣的操作后，袋
中還剩下一張紙片，這張紙片上的數是_____. 3. 用1~10十個數隨意排成一排。

    如果相鄰兩個數中，前面的大于后面的，就將它們變換位置。如此操作直到
前面的數都小于后面的數為止。已知10在這列數中的第6 位，那么最少要實行_____
次交換。最多要實行_____ 次交換。

    4.一個自然數，把它的各位數字加起來得到一個新數，稱為一次變換，例如
自然數5636，各位數字之和為5+6+3+6=20，對20再作這樣的變換得2+0=2.可以證
明進行這種變換的最后結果是將這個自然數，變成一個一位數。

    對數123456789101112 …272829作連續變換，最終得到的一位數是_____. 5.
5 個自然數和為100 ，對這5 個自然數進行如下變換，找出一個最小數加上2 ，
找出一個最大數減2.連續進行這種變換，直至5 個數不發生變化為止，最后的5
個數可能是_____. 6. 在黑板上寫兩個不同的自然數，擦去較大數，換成這兩個
數的差，我們稱之為一次變換。比如（15，40），40-15=25，擦去40，寫上25，
兩個數變成（15，25），對得到的兩個數仍然可以繼續作這樣的變換，直到兩個
數變得相同為止，比如對（15，40）作這樣的連續變換：（15，40）（15，25）

    （15，10）（5 ，10）（5 ，5 ）。

    對（1024，111 …1 ）作這樣的連續變換，最后得到的兩個相同的20個1 數
是_____. 7. 在一塊長黑板上寫著450 位數123456789123456789…（將123456789
重復50次）。刪去這個數中所有位于奇數位上的數字：再刪去所得的數中所有位
于奇數位上的數字：再刪去…，并如此一直刪下去。最后刪去的數字是_____. 8.
將100 以內的質數從小到大排成一個數字串，依次完成以下五項工作叫做一次操
作：①  將左邊第一個數碼移到數字串的最右邊；②  從左到右兩位一節組成若
干這兩位數；③  劃去這些兩位數中的合數；④  所剩的兩位質數中有相同者，
保留左邊的一個，其余劃去；⑤  所余的兩位質數保持數碼次序又組成一個新的
數字串。

    經過1997次操作，所得的數字串是_____. 9. 一個三角形全涂上黑色，每次
進行一次操作，即把全黑三角形分成四個全等的小三角形，中間的小正三角形涂
上白色，經過5 次操作后，黑色部分是整個三角形的_____.

    （1 ）（2 ）

    10. 口袋里裝著分別寫有1 ，2 ，3 ，…，135 的紅色卡片各一張，從口袋
里任意摸出若干張卡片，并算出這若干張卡片上各數的和除以17的余數，再把這
個余數寫在另一張黃色的卡片上放回口袋內。經過若干次這樣的操作后，口袋內
還剩下兩張紅色卡片和一張黃色卡片。已知這兩張紅色卡片上寫的數分別是19和
97. 那么這張黃色卡片上寫的數是_____.

    二、解答題11. 請說明例1 中，對1980的連續變換中一定會出現重復。對其
它的數作連續變換是不是也會如此？

    12. 將3 3 方格紙的每一個方格添上奇數或偶數，然后進行如下操作：將每
個方格里的數換成與它有公共邊的幾個方格里的數的和，問是否可以經過一定次
數的操作，使得所有九個方格里的數都變成偶數？如果可以，需要幾次？

    13. 在左下圖中，對任意相鄰的上下或左右兩格中的數字同時加1 或減1 算
作一次操作，經過若干次操作后變為下圖。問：下圖A 格中的數字是幾？為什么？

    14. 在1997 1997 的方形棋盤上每格都裝有一盞燈和一個按鈕，按鈕每按一
次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態，即由亮變不亮，不亮變
亮。如果原來每盞燈都是不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部
變亮？

---------------答 案----------------------

    1. 71 所剩之數等于原來的七個數之和減6 ，故這個數是（8+9+10+11+12+13+14）

    -6=71. 2. 50每次操作都不改變袋中所有數之和除以100 的余數，所以最后
一張紙片上的數等于1~99的和除以100 的余數。

    （1+2+…+99 ） 100= 100 =4950 100 =49 100+50

    故這張紙片上的數是50. 3. 4次；40次。

    當排列順序為1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，10，6 ，7 ，8 ，9 時，交換次數最少，
需交換4 次；當排列順序為9 ，8 ，7 ，6 ，5 ，10，4 ，3 ，2 ，1 時，交換
次數最多，需交換40次。

    4. 3一個整數被9 除的余數等于它的各位數字之和被9 除的余數，如果這個
整數不是9 的倍數，就可以根據這一點來確定題目要求的一位數。

    （1+2+…+9） 3+1 10+2 10被9 除余3 ，可見最終得到的一位數是3.

    5. 20 ，20，20，20，20，或19，20，20，20，21或19，19，20，21， 21.
仿例2 ，5 個數的差距會越來越小，最后最大與最小數最多差2.最終的5 個數可
能是20，20，20，20，20，或者19，20，20，20，21或19，19，20，21，21. 6.
1 變換中的兩個數，它們的最大公約數始終末變，是后得到的兩個相同的數即為
它們的最大公約數。因為1024=210，而11…1 20個1 沒有質因子2 ，它們是互質
的。所以最后得到的兩個相同的數是1. 7.  4事實上，在第一次刪節之后。留下
的皆為原數中處于偶數位置上的數；在第二次刪節之后，留下的數在原數中所處
的位置可被4 整除；如此等等。于是在第八次刪節之后，原數中只留下處于第28
k=256k號位置上的數，這樣的數在所給的450 位數中只有一個，即第256 位數。

    由于256=9 28+4，所以該數處于第29組"123456789" 中的第4 個位置上。即
為4. 8. 1731第1 次操作得數字串711131131737；第2 次操作得數字串11133173
；第3 次操作得數字串111731；第4 次操作得數字串1173；第5 次操作得數字串
1731第6 次操作得數字串7311；第7 次操作得數字串3117；第8 次操作得數字串
1173；以下以4 為周期循環，即4k次操作均為1173. 1996=4 499，所以第1996次
操作得數字串1173，因此第1997次操作得數字串1731. 9.每一次黑三角形個數為
整個的，所以5 次變換為 = 10. 3卡片上的數字之和除以17的余數始終不變。

    （1+2+3+…+135） 17=9180 17=540.（19+97 ） 17=116 17=6……14，因為
黃色卡片上的數都小于17，所以黃色卡片上的數是17-14=3. 11.對1980的連續變
換中，每個數都不大于1980+1991=3971，所以在3971步之內必定會出現重復，對
其它的數作連續變換也會如此。

    12. 如圖，用字母a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，I 代表9 個方格內的
數字，0 代表偶數。

    a b c b+d a+e+c b+f g+c b+h a+i d e f a+e+g d+b+h+f c+e+i d+f 0 d+f
g h i d+h g+e+i h+f a+i b+h g+c d+f+b+h g+c+a+i b+h+d+f 0 0 0 g+c+a+i
0 g+c+a+i 0 0 0 d+f+b+h a+I+g+c b+h+d+f 0 0 0 可見經過四次操作后，所有
九個方格中的數全變為偶數。

    13. 每次操作都是在相鄰的兩格，我們將相鄰的兩格染上不同的顏色（如右
下圖），因為每次操作總是一個黑格與一個白格同時加1 或減1 ，所以無論進行
多少次操作，白格內的數字之和減去黑格內的數字之和總是常數。由原題左圖知
這個常數是8 ，再由原題右圖可得（A+7 ）-8=8，由此解得A=9.

    14. 1997次將第一列中的每一格都按一次，則除第一列外，每格的燈都只改
變一次狀態，由不亮變亮。而第一列每格的燈都改變1997次狀態，由不亮變亮。

    如果少于1997次，則至少有一列和至少有一行沒有被按過，位于這一列和這
一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態。