一、填空題1.對于324 和612 ，把第一個數(shù)加上3 ，同時把第二個數(shù)減3 ，
這算一次操作，操作_____ 次后兩個數(shù)相等。

    2.對自然數(shù)n ，作如下操作：各位數(shù)字相加，得另一自然數(shù)，若新的自然數(shù)
為一位數(shù)，那么操作停止，若新的自然數(shù)不是一位數(shù)，那么對新的自然數(shù)繼續(xù)上
面的操作，當?shù)玫揭粋�一位數(shù)為止，現(xiàn)對1 ，2 ，3 …，1998如此操作，最后得
到的一位數(shù)是7 的數(shù)一共有_____ 個。

    3.在1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，…，59，60這60個數(shù)中，第一次從左向右劃去奇
數(shù)位上的數(shù)；第二次在剩下的數(shù)中，再從左向右劃去奇數(shù)位上的數(shù)；如此繼續(xù)下
去，最后剩下一個數(shù)時，這個數(shù)是_____. 4. 把寫有1 ，2 ，3 ，…，25的25張
卡片按順序疊齊，寫有1 的卡片放在最上面，下面進行這樣的操作：把第一張卡
片放到最下面，把第二張卡片扔掉；再把第一張卡片放到最下面，把第二張卡片
扔掉；…按同樣的方法，反復進行多次操作，當剩下最后一張卡片時，卡片上寫
的是_____. 5. 一副撲克共54張，最上面的一張是紅桃K.如果每次把最上面的4
張牌，移到最下面而不改變它們的順序及朝向，那么，至少經(jīng)過_____ 次移動，
紅桃K 才會出現(xiàn)在最上面。

    6.寫出一個自然數(shù)A ，把A 的十位數(shù)字與百位數(shù)字相加，再乘以個位數(shù)字，
把所得之積的個位數(shù)字續(xù)寫在A 的末尾，稱為一次操作。

    如果開始時A=1999，對1999進行一次操作得到19992 ，再對19992 進行一次
操作得到199926，如此進行下去直到得出一個1999位數(shù)為止，這個1999位數(shù)的各
位數(shù)字之和是_____. 7. 黑板上寫有1987個數(shù)：1 ，2 ，3 ，…，1986，1987.
任意擦去若干個數(shù)，并添上被擦去的這些數(shù)的和被7 除的余數(shù)，稱為一個操作。
如果經(jīng)過若干次這種操作，黑板上只剩下了兩個數(shù)，一個是987 ，那么，另一個
數(shù)是_____. 8. 下圖中有5 個圍棋子圍成一圈。現(xiàn)在將同色的兩子之間放入一個
白子，在異色的兩子之間放入一個黑子，然后將原來的5 個拿掉，剩下新放入的
5 個子中最多能有_____ 個黑子。

    9.在圓周上寫上數(shù)1 ，2 ，4 然后在每兩個相鄰的數(shù)之間寫上它們的和（于
是共得到6 個數(shù)：1 ，3 ，2 ，6 ，4 ，5 ）再重復這一過程5 次，圓周上共出
現(xiàn)192 個數(shù)，則所有這些數(shù)的和是_____. 10.在黑板上任意寫一個自然數(shù)，然后
用與這個自然數(shù)互質(zhì)并且大于1 的最小自然數(shù)替換這個數(shù)，稱為一次操作，那么
最多經(jīng)過_____ 次操作，黑板上就會出現(xiàn)2.

    二、解答題11. 甲盒中放有1993個白球和1994個黑球，乙盒中放有足夠多個
黑球。現(xiàn)在每次從甲盒中任取兩球放在外面，但當被取出的兩球同色時，需從乙
盒中取出一個黑球放入甲盒；當被取出的兩球異色時，便將其中的白球再放回甲
盒，這樣經(jīng)過3985次取、放之后，甲盒中剩下幾個球？各是什么顏色的球？

    12. 如圖是一個圓盤，中心軸固定在黑板上，開始時，圓盤上每個數(shù)字所對
應(yīng)的黑板處均寫著0 ，然后轉(zhuǎn)動圓盤，每次可以轉(zhuǎn)動的任意整數(shù)倍，圓盤上的四
個數(shù)將分別正對著黑板上寫數(shù)的位置。將圓盤上的數(shù)加到黑板上對應(yīng)位置的數(shù)上，
問：經(jīng)過若干次后，黑板上的四個數(shù)是否可能都是1999？

    13. 有三堆石子，每次允許由每堆中拿掉一個或相同數(shù)目的石子（每次這個
數(shù)目不一定相同），或由任一堆中取一半石子（如果這堆石子是偶數(shù)個）放入另
外任一堆中，開始時三堆石子數(shù)分別為1989，989 ，89. 如按上述方式進行操作，
能否把這三堆石子都取光？如行，請設(shè)計一種取石子的方案，如不行，說明理由。

    14. 如圖，圓周上順次排列著1 、2 、3 、……、12這十二個數(shù)，我們規(guī)定
：相鄰的四個數(shù)a1、a2、a3、a4順序顛倒為a4、a3、a2、a1，稱為一次" 變換"
（如：1 、2 、3 、4 變?yōu)? 、3 、2 、1 ，又如：11、12、1 、2 變?yōu)? 、1 、
12、11）。能否經(jīng)過有限次" 變換" ，將十二個數(shù)的順序變?yōu)? 、1 、2 、3 、
……8 、10、11、12（如圖）？請說明理由。

---------------答 案----------------------

    1. 48 每操作一次，兩個數(shù)的差減少6 ，經(jīng)（612-324 ） 6=48 次操作后兩
個數(shù)相等。

    2. 222由于操作后所得到的數(shù)與原數(shù)被9 除所得的余數(shù)相同，因此操作最后
為7 的數(shù)一定是原數(shù)除以9 余7 的數(shù)，即7 ，16，25，…，1996，一共有（1996-7）
9+1=222 （個）

    3. 32 第一次操作后，剩下2 ，4 ，6 ，…，60這30個偶數(shù)；第二次操作后，
剩下4 ，8 ，12，…，60這15個數(shù)（都是4 的倍數(shù)）；第三次操作后，剩下8 ，
16，24，…，56這7 個數(shù)（都是8 的倍數(shù)）；第四次操作后，剩下16，32，48這
3 個數(shù)；第五次操作后，剩下一個數(shù)，是32. 4. 19 第一輪操作，保留1 ，3 ，
5 ，…，25共13張卡片；第二輪保留3 ，7 ，11，15，19，23這6 張卡片；第三
輪保留3 ，11，19這3 張卡片；接著扔掉11，3 ；最后剩下的一張卡片是19. 5.
27次因為[54 ，4]=108，所以移動108 張牌，又回到原來的狀況。又因為每次移
動4 張牌，所以至少移動108 4=27（次）。

    6. 66 按照操作的規(guī)則，尋找規(guī)律知，A=1999時得到的1999位數(shù)為：1999266864600
…0.其各位數(shù)字和為1+9+9+9+2+6+6+8+6+4 +6=66 7. 0黑板上的數(shù)的和除以7 的
余數(shù)始終不變。

    （1+2+3+…+1987 ） 7=282154 又1+2+3+…+1987= =1987 994=1987 142 7
是7 的倍數(shù)。

    所以黑板上剩下的兩個數(shù)之和為7 的倍數(shù)。

    又987=7 141 是7 的倍數(shù)，所以剩下的另一個數(shù)也應(yīng)是7 的倍數(shù)，又這個數(shù)
是某些數(shù)的和除以7 的余數(shù)，故這個數(shù)只能是0. 8. 4 個提示：因為5 個子不可
能黑白相間，所以永遠不會得到5 個全是黑子。

    9. 5103 記第i 次操作后，圓周上所有數(shù)的和為ai，依題意，得ai+1=2ai+ai=3ai.
又原來三數(shù)的和為a0=1+2+4=7，所以a1=3a0=21 ，a2=3a1=63 ，a3=3a2=189，a4=3a3=567，
a5=3a4=1701 ，a6=3a5=5103 ，即所有數(shù)的和為5103. 10. 2 如果寫的是奇數(shù)，
只需1 次操作；如果寫的是大于2 的偶數(shù)，經(jīng)過1 次操作變?yōu)槠鏀?shù)，再操作1 次
變?yōu)?. 11.由操作規(guī)則知，每次操作后，甲盒中球數(shù)減少一個，因此經(jīng)過3985次
操作后，甲盒中剩下1993+1994-3985=2個球。

    每次操作白球數(shù)要么不變，要么減少2 個。因此，每次操作后甲盒中白球數(shù)
的奇偶性不變；即白球數(shù)為奇數(shù)。因此最后剩下的2 個球中，白球1 個，故另一
個必為黑球。

    12. 每次加上的數(shù)之和是1+2+3+4=10，所以黑板上的四個數(shù)之和永遠是10的
整數(shù)倍。因此，無論如何操作，黑板上的四個數(shù)不可能都是1999. 13. 要把三堆
石子都取光是不可能的。

    按操作規(guī)則，每次拿出去的石子總和是3 的倍數(shù)，即不改變石子總數(shù)被3 除
的余數(shù)。而1989+989+89=3067被3 除余1 ，三堆石子取光時總和被3 除余0.所以，
三堆石子都取光是辦不到的。

    14. 能

    解：如上圖所示，經(jīng)過兩次變換，10、11、12三個數(shù)被順時針移動了兩個位
置。仿此，再經(jīng)過3 次這樣的兩次變換，10、11、12三個數(shù)又被順時針移動了六
個位置，變?yōu)橄聢D，圖中十二個數(shù)的順序符合題意。