一、填空題1.28的所有約數之和是_____. 2. 用105 個大小相同的正方形拼
成一個長方形，有_____ 種不同的拼法。

    3.一個兩位數，十位數字減個位數字的差是28的約數，十位數字與個位數字
的積是24. 這個兩位數是_____. 4. 李老師帶領一班學生去種樹，學生恰好被平
均分成四個小組，總共種樹667 棵，如果師生每人種的棵數一樣多，那么這個班
共有學生_____ 人。

    5.兩個自然數的和是50，它們的最大公約數是5 ，則這兩個數的差是_____.
6.現有梨36個，桔108 個，分給若干個小朋友，要求每人所得的梨數，桔數相等，
最多可分給_____ 個小朋友，每個小朋友得梨_____ 個，桔_____ 個。

    7.一塊長48厘米、寬42厘米的布，不浪費邊角料，能剪出最大的正方形布片
_____ 塊。

    8.長180 厘米，寬45厘米，高18厘米的木料，能鋸成盡可能大的正方體木塊
（不余料）_____ 塊。

    9.張師傅以1 元錢3 個蘋果的價格買蘋果若干個，又以2 元錢5 個蘋果的價
格將這些蘋果賣出，如果他要賺得10元錢利潤，那么他必須賣出蘋果_____ 個。

    10. 含有6 個約數的兩位數有_____ 個。

    11. 寫出小于20的三個自然數，使它們的最大公約數是1 ，但兩兩均不互質，
請問有多少組這種解？

    12. 和為1111的四個自然數，它們的最大公約數最大能夠是多少？

    13. 狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳米，黃鼠狼每次跳米，它們每
秒鐘都只跳一次。比賽途中，從起點開始每隔米設有一個陷井，當它們之中有一
個掉進陷井時，另一個跳了多少米？

    14. 已知a 與b 的最大公約數是12，a 與c 的最小公倍數是300 ，b 與c 的
最小公倍數也是300 ，那么滿足上述條件的自然數a ，b ，c 共有多少組？

    （例如：a=12、b=300 、c=300 ，與a=300 、b=12、c=300 是不同的兩個自
然數組）

---------------答 案----------------------

    答案：1. 56 28的約數有1 ，2 ，4 ，7 ，14，28，它們的和為1+2+4+7+14+28=56.
2. 4因為105 的約數有1 ，3 ，5 ，7 ，15，21，35，105 能拼成的長方形的長
與寬分別是105 和1 ，35和3 ，21與5 ，15與7.所以能拼成4 種不同的長方形。

    3. 64 因為28=2 2 7，所以28的約數有6 個：1 ，2 ，4 ，7 ，14，28. 在
數字0 ，1 ，2 ，…，9 中，只有6 與4 之積，或者8 與3 之積是24，又6-4=2 ，
8-3=5.故符合題目要求的兩位數僅有64. 4. 28 因為667=23 29 ，所以這班師生
每人種的棵數只能是667 的約數：1 ，23，29，667.顯然，每人種667 棵是不可
能的。

    當每人種29棵樹時，全班人數應是23-1=22 ，但22不能被4 整除，不可能。

    當每人種23棵樹時，全班人數應是29-1=28 ，且28恰好是4 的倍數，符合題
目要求。

    當每人種1 棵樹時，全班人數應是667-1=666 ，但666 不能被4 整除，不可
能。

    所以，一班共有28名學生。

    5. 40 或20兩個自然數的和是50，最大公約數是5 ，這兩個自然數可能是5
和45，15和35，它們的差分別為（45-5= ）40，（35-15=）20，所以應填40或20.
[ 注] 這里的關鍵是依最大公約數是5 的條件，將50分拆為兩數之和：50=5+45=15+35.
6. 36 ，1 ，3.要把梨36個、桔子108 個分給若干個小朋友，要求每人所得的梨
數、桔子相等，小朋友的人數一定是36的約數，又要是108 的約數，即一定是36
和108 的公約數。因為要求最多可分給多少個小朋友，可知小朋友的人數是36和
108 的最大公約數。36和108 的最大公約數是36，也就是可分給36個小朋友。

    每個小朋友可分得梨： 36 36=1（只）

    每個小朋友可分得桔子： 108 36=3 （只）

    所以，最多可分得36個小朋友，每個小朋友可分得梨1 只，桔子3 只。

    7. 56 剪出的正方形布片的邊長能分別整除長方形的長48厘米及寬42厘米，
所以它是48與42的公約數，題目又要求剪出的正方形最大，故正方形的邊長是48
與42的最大公約數。

    因為48=2 2 2 2 3，42=2 3 7，所以48與42的最大公約數是6.這樣，最大正
方形的邊長是6 厘米。由此可按如下方法來剪：長邊每排剪8 塊，寬邊可剪7 塊，
共可剪（48 6）（42 6）=8 7=56 （塊）正方形布片。

    8. 200根據沒有余料的條件可知長、寬和高分別能被正方體的棱長整除，即
正方體的棱長是180 ，45和18的公約數。為了使正方體木塊盡可能大，正方體的
棱長應是180 、45和18的最大公約數。180 ，45和18的最大公約數是9 ，所以正
方體的棱長是9 厘米。這樣，長180 厘米可公成20段，寬45厘米可分成5 段，高
18厘米可分成2 段。這根木料共分割成（180 9 ）（45 9）（18 9）=200塊棱長
是9 厘米的正方體。

    9. 150根據3 與5 的最小公倍數是15，張老師傅以5 元錢買進15個蘋果，又
以6 元錢賣出15個蘋果，這樣，他15個蘋果進與出獲利1 元。所以他獲利10元必
須賣出150 個蘋果。

    10. 16含有6 個約數的數，它的質因數有以下兩種情況：一是有5 個相同的
質因數連乘；二是有兩個不同的質因數其中一個需連乘兩次，如果用M 表示含有
6 個約數的數，用a 和b 表示M 的質因數，那么或因為M 是兩位數，所以M= a5
只有一種可能M=25，而M= a2 b 就有以下15種情況：，。

    所以，含有6 個約數的兩位數共有15+1=16 （個）

    11. 三個數都不是質數，至少是兩個質數的乘積，兩兩之間的最大公約數只
能分別是2 ，3 和5 ，這種自然數有6 ，10，15和12，10，15及18，10，15三組。

    12. 四個數的最大公約數必須能整除這四個數的和，也就是說它們的最大公
約數應該是1111的約數。將1111作質因數分解，得1111=11 101 最大公約數不可
能是1111，其次最大可能數是101.若為101 ，則將這四個數分別除以101 ，所得
商的和應為11. 現有1+2+3+5=11，即存在著下面四個數101 ，101 2 ，101 3 ，
101 5 ，它們的和恰好是101 （1+2+3+5 ）=101 11=1111，它們的最大公約數為
101.所以101 為所求。

    13. 黃鼠狼掉進陷井時已跳的行程應該是與的" 最小公倍數" ，即跳了 =9
次掉進陷井，狐貍掉進陷井時已跳的行程應該是和的" 最小公倍數" ，即跳了 =11
次掉進陷井。

    經過比較可知，黃鼠狼先掉進陷井，這時狐貍已跳的行程是 9=40.5 （米）。

    14. 先將12、300 分別進行質因數分解：12=22 3 300=22 3 52 （1 ）確定
a 的值。依題意a 只能取12或12 5（=60 ）或12 25 （=300）。

    （2 ）確定b 的值。

    當a=12時，b 可取12，或12 5，或12 25 ；當a=60，300 時，b 都只能取12.
所以，滿足條件的a 、b 共有5 組：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300 b=12， b=60 ，
b=300 ， b=12 ， b=12.（3 ）確定a ，b ，c 的組數。

    對于上面a 、b 的每種取值，依題意，c 均有6 個不同的值：52，52 2，52
22，52 3，52 2 3，52 22 3 ，即25，50，100 ，75，150 ，300.所以滿足條件
的自然數a 、b 、c 共有5 6=30（組）