一、填空題1.把20個梨和25個蘋果平均分給小朋友，分完后梨剩下2 個，而
蘋果還缺2 個，一共有_____ 個小朋友。

    2.幼兒園有糖115 顆、餅干148 塊、桔子74個，平均分給大班小朋友；結果
糖多出7 顆，餅干多出4 塊，桔子多出2 個。這個大班的小朋友最多有_____ 人。

    3.用長16厘米、寬14厘米的長方形木板來拼成一個正方形，最少需要用這樣
的木板_____ 塊。

    4.用長是9 厘米、寬是6 厘米、高是7 厘米的長方體木塊疊成一個正方體，
至少需要這種長方體木塊_____ 塊。

    5.一個公共汽車站，發出五路車，這五路車分別為每隔3 、5 、9 、15、10
分鐘發一次，第一次同時發車以后，_____ 分鐘又同時發第二次車。

    6.動物園的飼養員給三群猴子分花生，如只分給第一群，則每只猴子可得12
粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得
20粒。那么平均給三群猴子，每只可得_____ 粒。

    7.這樣的自然數是有的：它加1 是2 的倍數，加2 是3 的倍數，加3 是4 的
倍數，加4 是5 的倍數，加5 是6 的倍數，加6 是7 的倍數，在這種自然數中除
了1 以外最小的是_____. 8. 能被3 、7 、8 、11四個數同時整除的最大六位數
是_____. 9. 把26，33，34，35，63，85，91，143 分成若干組，要求每一組中
任意兩個數的最大公約數是1 ，那么至少要分成_____ 組。

    10. 210 與330 的最小公倍數是最大公約數的_____ 倍。

    二、解答題11. 公共汽車總站有三條線路，第一條每8 分鐘發一輛車，第二
條每10分鐘發一輛車，第三條每16分鐘發一輛車，早上6 ：00三條路線同時發出
第一輛車。該總站發出最后一輛車是20：00，求該總站最后一次三輛車同時發出
的時刻。

    12. 甲乙兩數的最小公倍數除以它們的最大公約數，商是12. 如果甲乙兩數
的差是18，則甲數是多少？乙數是多少？

    13. 用、、分別去除某一個分數，所得的商都是整數。這個分數最小是幾？

    14. 有15位同學，每位同學都有編號，他們是1 號到15號，1 號同學寫了一
個自然數，2 號說：" 這個數能被2 整除" ，3 號說：" 這個數能被他的編號數
整除。1 號作了檢驗：只有編號連續的二位同學說得不對，其余同學都對，問：
（1 ）說的不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數？

    （2 ）如果告訴你，1 號寫的數是五位數，請找出這個數。

---------------答 案----------------------

    答案：1. 9若梨減少2 個，則有20-2=18 （個）；若將蘋果增加2 個，則有
25+2=27 （個），這樣都被小朋友剛巧分完。由此可知小朋友人數是18與27的最
大公約數。所以最多有9 個小朋友。

    2. 36 根據題意不難看出，這個大班小朋友的人數是115-7=108 ，148-4=144
，74-2=72的最大公約數。

    所以，這個大班的小朋友最多有36人。

    3. 56 所鋪成正方形的木板它的邊長必定是長方形木板長和寬的倍數，也就
是長方形木板的長和寬的公倍數，又要求最少需要多少塊，所以正方形木板的邊
長應是14與16的最小公倍數。

    先求14與16的最小公倍數。

    2 16 14 8 7 故14與16的最小公倍數是2 8 7=112.因為正方形的邊長最小為
112 厘米，所以最少需要用這樣的木板=7 8=56 （塊）

    4. 5292 與上題類似，依題意，正方體的棱長應是9 ，6 ，7 的最小公倍數，
9 ，6 ，7 的最小公倍數是126.所以，至少需要這種長方體木塊=14 21 18=5292
（塊）

    [ 注] 上述兩題都是利用最小公倍數的概念進行" 拼圖" 的問題，前一題是
平面圖形，后一題是立體圖形，思考方式相同，后者可看作是前者的推廣。將平
面問題推廣為空間問題是數學家喜歡的研究問題的方式之一。希望引起小朋友們
注意。

    5. 90 依題意知，從第一次同時發車到第二次同時發車的時間是3 ，5 ，9 ，
15和10的最小公倍數。

    因為3 ，5 ，9 ，15和10的最小公倍數是90，所以從第一次同時發車后90分
鐘又同時發第二次車。

    6. 5依題意得花生總粒數=12 第一群猴子只數=15 第二群猴子只數=20 第三
群猴子只數由此可知，花生總粒數是12，15，20的公倍數，其最小公倍數是60.
花生總粒數是60，120 ，180 ，……，那么第一群猴子只數是5 ，10，15，……

    第二群猴子只數是4 ，8 ，12，……

    第三群猴子只數是3 ，6 ，9 ，……

    所以，三群猴子的總只數是12，24，36，……。因此，平均分給三群猴子，
每只猴子所得花生粒數總是5 粒。

    7. 421依題意知，這個數比2 、3 、4 、5 、6 、7 的最小公倍數大1 ，2 、
3 、4 、5 、6 、7 的最小公倍數是420 ，所以這個數是421. 8. 999768由題意
知，最大的六位數是3 ，7 ，8 ，11的公倍數，而3 ，7 ，8 ，11的最小公倍數
是1848. 因為999999 1848=541 ……231 ，由商數和余數可知符合條件的最大六
位數是1848的541 倍，或者是999999與231 的差。所以，符合條件的六位數是999999-231=999768.
9. 3根據題目要求，有相同質因數的數不能分在一組，26=2 13 ，91=7 13 ，143=11
13，所以，所分組數不會小于3.下面給出一種分組方案：（1 ）26，33，35；
（2 ）34，91；（3 ）63，85，143.因此，至少要分成3 組。

    [ 注] 所求組數不一定等于出現次數最多的質因數的出現次數，如15=3 5，
21=3 7，35=5 7，3 ，5 ，7 各出現兩次，而這三個數必須分成三組，而不是兩
組。

    除了上述分法之外，還有多種分組法，下面再給出三種：（1 ）26，35；33，
85，91；34，63，143.（2 ）85，143 ，63；26，33，35；34，91. （3 ）26，
85，63；91，34，33；143 ，35. 10. 77根據" 甲乙的最小公倍數甲乙的最大公
約數= 甲數乙數" ，將210 330 分解質因數，再進行組合有210 330=2 3 5 7 2
3 5 11 =22 32 52 7 11 = （2 3 5 ）（2 3 5 7 11）

    因此，它們的最小公倍數是最大公約數的7 11=77 （倍）。

    11. 根據題意，先求出8 ，10，16的最小公倍數是80，即從第一次三車同時
發出后，每隔80分鐘又同時發車。

    從早上6 ：00至20：00共14小時，求出其中包含多少個80分鐘。

    60 14 80=10 …40分鐘由此可知，20：00前40分鐘，即19：20為最后一次三
車同時發車的時刻。

    12. 甲乙兩數分別除以它們的最大公約數，所得的兩個商是互質數。而這兩
個互質數的乘積，恰好是甲乙兩數的最小公倍數除以它們的最大公約數所得的商
——12. 這一結論的根據是：（我們以" 約" 代表兩數的最大公約數，以" 倍"
代表兩數的最小公倍數）

    甲數乙數= 倍約= ，所以：= ， =12將12變成互質的兩個數的乘積：①12=4
3 ，②12=1 12 先看①，說明甲乙兩數：一個是它們最大公約數的4 倍，一個是
它們最大公約數的3 倍。

    甲乙兩數的差除以上述互質的兩數（即4 和3 ）之差，所得的商，即甲乙兩
數的最大公約數。

    18（4-3 ）=18 甲乙兩數，一個是：18 3=54 ，另一個是：18 4=72.再看②，
18（12-1）= ，不符合題意，舍去。

    13. 依題意，設所求最小分數為，則=a =b =c即 =a =b =c 其中a ，b ，c
為整數。

    因為是最小值，且a ，b ，c 是整數，所以M 是5 ，15，21的最小公倍數，
N 是28，56，20的最大公約數，因此，符合條件的最小分數： = = 14.（1 ）根
據2 號~15 號同學所述結論，將合數4 ，6 ，…，15分解質因數后，由1 號同學
驗證結果，進行分析推理得出問題的結論。

    4=22，6=2 3 ，8=23，9=32，10=2 5，12=22 3 ，14=2 7，15=3 5由此不難
斷定說得不對的兩個同學的編號是8 與9 兩個連續自然數（可逐次排除，只有8
與9 滿足要求）。

    （2 ）1 號同學所寫的自然數能被2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，10，11，12，
13，14，15這12個數整除，也就是它們的公倍數。它們的最小公倍數是22 3 5 7
11 13=60060 因為60060 是一位五位數，而這12個數的其他公倍數均不是五位數，
所以1 號同學寫的五位數是60060.