71. 有趣的“魔術數”

    你知道“魔術數”嗎？

    將自然數N 接寫在另一個自然數的右邊（例如，將2 接著寫在34的右邊就是
342 ），如果得到的新數都能被N 整除，那么自然數N 就叫做魔術數。

    小朋友，在小于100 的自然數中，你能找到多少個這樣的魔術數，它們各是
幾？

    分析與解

    我們首先發(fā)現1 就是一個魔術數。因為不管把1 寫在哪一個自然數右邊，所
得的新數都能被1 整除。在剩下的八個自然數中，可以斷定3 、4 、6 、7 、8 、
9 這六個自然數不是魔術數。這只要把這六個數分別接著寫在1 后面就可以明白
了。那么剩下的2 和5 是不是魔術數呢？回答是肯定的。

    因為把2 接寫在任何一個自然數的右邊，所得的新數的個位上的數字總是2 ，
這些新數一定能被2 整除，所以2 是魔術數。同樣道理，5 也是魔術數，這樣我
們就找到了三個一位魔術數：1 、2 、5.我們再尋找兩位魔術數。兩位數從10到
99為止，一共是90個。我們先把每一個兩位數接寫在1 后面，很快就能發(fā)現，除
了10、20、25、50以外，其余的兩位數都不能整除被接在1 后面所得的新數，當
然就肯定不是魔術數了。那么10、20、25、50這四個數是不是魔術數呢？ 10 是
魔術數很容易確定。20也是魔術數，因為把20接寫在自然數a 后面，新數就是
（100a＋20），而100a＋20=20 ×（5a＋1 ），顯然能被20整除。用上述辦法同
樣可以證明： 25 、50也是魔術數。這樣，我們就找到了四個二位魔術數10、20、
25、50. 細心的小朋友從上面找魔術數的過程中一定會發(fā)現，一位魔術數1 、2 、
5 恰好是10的約數中所有的一位數；二位魔術數10、20、25、50恰好是100 （102
）的約數中的所有的二位數。那么，三位魔術數是不是1000 （103 ）的約數中的
所有的三位數？四位魔術數是不是104 的約數中的所有四位數？進而n 位魔術數
是不是10n 的約數中的所有n 位數？是的。不信你試試看。順便告訴你，三位魔
術數和三位以上的魔術數都是五個。這又是為什么？請你想想看。