一、填空題1.除107 后，余數為2 的兩位數有_____. 2. 27（）= （）……
3.上式（）里填入適當的數，使等式成立，共有_____ 種不同的填法。

    3.四位數8 □98能同時被17和19整除，那么這個四位數所有質因數的和是_____.
4.一串數1 、2 、4 、7 、11、16、22、29……這串數的組成規律，第2 個數比
第1 個數多1 ；第3 個數比第2 個數多2 ；第4 個數比第3 個數多3 ；依此類推
；那么這串數左起第1992個數除以5 的余數是_____. 5. 222 ……22除以13所得
的余數是_____. 2000 個6.小明往一個大池里扔石子，第一次扔1 個石子，第二
次扔2 個石子，第三次扔3 個石子，第四次扔4 個石子……，他準備扔到大池的
石子總數被106 除，余數是0 止，那么小明應扔_____ 次。

    7.七位數3 □□72□□的末兩位數字是_____ 時，不管十萬位上和萬位上的
數字是0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 中哪一個，這個七位數都不是
101 的倍數。

    8.有一個自然數，用它分別去除63，90，130 都有余數，三個余數的和是25.
這三個余數中最小的一個是_____. 9. 在1 ，2 ，3 ，……29，30這30個自然數
中，最多能取出_____ 個數，使取出的這些數中，任意兩個不同的數的和都不是
7 的倍數。

    10. 用1-9 九個數字組成三個三位數，使其中最大的三位數被3 除余2 ，并
且還盡可能地小；次大的三位數被3 除余1 ；最小的三位數能被3 整除。那么，
最大的三位數是_____.

    二、解答題11. 桌面上原有硬紙片5 張。從中取出若干張來，并將每張都任
意剪成7 張較小的紙片，然后放回桌面，像這樣，取出，剪小，放回；再取出，
剪小，放回；……是否可能在某次放回后，桌上的紙片數剛好是1991？

    12. 一個自然數被8 除余1 ，所得的商被8 除也余1 ，再把第二次所得的商
被8 除后余7 ，最后得到一個商是a （見短除式<1> ）；又知這個自然數被17除
余4 ，所得的商被17除余15，最后得到一個商是a 的2 倍（見短除式<2> ）。求
這個自然數。

    8 所求自然數……余1 8 第一次商……余1 8 第二次商……余7 a 短除式<1>
17所求自然數……余4 17第一次商……余15 2 a短除式<2> 13. 某班有41名同學，
每人手中有10元到50元錢各不相同。他們到書店買書，已知簡裝書3 元一本，精
裝書4 元一本，要求每人都要把自己手中的錢全部用完，并且盡可能多買幾本書，
那么最后全班一共買了多少本精裝書？

    14. 某校開運動會，打算發給1991位學生每人一瓶汽水，由于商店規定每7
個空瓶可換一瓶汽水，所以不必買1991瓶汽水，但是最少要買多少瓶汽水？

---------------答 案----------------------

    答案：1. 15 ，21，35從107 里減去余數2 ，得107-2=105 ，所以105 是除
數與商數相乘之積，將105 分解質因數得105=3 5 7 ，可知這樣的兩位數有15，
21，35. 2. 5根據帶余數除法中各部分之間的關系可知，商除數=27-3=24. 這樣
可通過分解質因數解答。

    因為24=2 2 2 3=23 3 ，所以（商，除數）= （1 ，24），（2 ，12），
（3 ，8 ），（4 ，6 ），（6 ，4 ），（8 ，3 ），（12，2 ），（24，1 ）

    又由余數比除數小可知，除數有24，12，8 ，6 ，4 五種填法。所以原式中
括號內的數共有5 種填法。

    3. 51 由17與19互質可知，8 □98能被（17 19=）323 整除。因為8098 323=25
…23，根據商數與余數符合題意的四位數應是323 的26倍，所以這個四位數是8398.
將8398分解質因數。

    8398=323 26 =2 13 17 19 所以，這個四位數的所有質因數之和是2+13+17+19=51.
4. 2設這串數為a1，a2，a3，…，a1992 ，…，依題意知a1=1 a2=1+1 a3=1+1+2
a4=1+1+2+3 a5=1+1+2+3+4 ……

    a1992=1+1+2+3+…+1991=1+996 1991因為996 5=199 …1 ，1991 5=398…1 ，
所以996 1991的積除以5 余數為1 ，1+996 1991除以5 的余數是2.因此，這串數
左起第1992個數除以5 的余數是2. 5. 9 因為222222=2 111111 =2 111 1001 =2
111 7 11 13 所以222222能被13整除。

    又因為2000=6 333+2 222…2=222 …200+22 2000 個 1998 22 13=1 …9 所
以要求的余數是9. 6. 52設小明應扔n 次，根據高斯求和可求出所扔石子總數為
1+2+3+…+n= （n+1 ）

    依題意知，（n+1 ）能被106 整除，因此可設（n+1 ）=106a 即n （n+1 ）
=212a 又212a=2 2 53a，根據n 與n+1 為兩個相鄰的自然數，可知2 2 a=52（或
54）。

    當2 2 a=52時，a=13. 當2 2 a=54時，a=13，a 不是整數，不符合題意舍去。

    因此， n（n+1 ）=52 53=52 （52+1），n=52，所以小明扔52次。

    7. 76 假設十萬位和萬位上填入兩位數為，末兩位上填入的數為，（十位上
允許是0 ），那么這個七位數可以分成三個部分3007200+10000 + ，3007200 除
以101 的余數是26， 10000除以101 的余數為，那么當 + +26的和是101 的倍數
時，這個七位數也是101 的倍數。如：當 =1 時， =74；當 =2 時， =73，……，
而當 =76時， =100 ，而，不可能是100 ，所以也不可能是76. 由此可知末兩位
數字是76時，這個七位數不管十萬位上和萬位上的數字是幾，都不是101 的倍數。

    8. 1設這個自然數為，且去除63，90，130 所得的余數分別為a ，b ，c ，
則63-a，90-b，130-c 都是的倍數。于是（63-a）+ （90-b）+ （130-c ）=283-
（a+b+c ）=283-25=258 也是的倍數。又因為258=2 3 43. 則可能是2 或3 或6
或43（顯然，86，129 ，258 ），但是a+b+c=25，故a ，b ，c 中至少有一個要
大于8 （否則，a ，b ，c 都不大于8 ，就推出a+b+c 不大于24，這與a+b+c=25
矛盾）。根據除數必須大于余數，可以確定 =43. 從而a=20，b=4 ，c=1.顯然，
1 是三個余數中最小的。

    9. 15 我們把1 到30共30個自然數根據除以7 所得余數不同情況分為七組。
例如，除以7 余1 的有1 ，8 ，15，22，29這五個數，除以7 余2 的有2 ，9 ，
16，23，30五個數，除以7 余3 的有3 ，10，17，24四個數，…要使取出的數中
任意兩個不同的數的和都不是7 的倍數，那么能被7 整除的數只能取1 個，取了
除以7 余1 的數，就不能再取除以7 余6 的數；取了除以7 余2 的數，就不能再
取除以7 余5 的數；取了除以7 余3 的數，就不能再取除以7 余4 的數。為了使
取出的個數最多，我們把除以7 分別余1 、余2 、余3 的數全部取出來連同1 個
能被7 整除的數，共有5+5+4+1=15（個）

    所以，最多能取出15個數。

    10. 347 根據使組成的符合條件的三位數，其最大三位數盡可能小的條件，
可知它們百位上的數字應分別選用3 ，2 ，1 ；個位上的數字應分別選用7 ，8 ，
9.又根據最小的三位數是3 的倍數，考慮在1 ○9 中應填5 ，得159.則在3 ○7 ，
2 ○8 中被3 除余2 ，余1 ，選用4 ，6 分別填入圓圈中得347 ，268 均符合條
件。

    這樣，最大三位數是347 ，次大三位數是268 ，最小三位數是159. 11.每次
放回后，桌面上的紙片數都增加6 的倍數，總數一定是6 的倍數加5.而1991=6 331+5，
所以是可能的。

    12. 解法一由（1 ）式得：8 與a 相乘的積加上余數7 ，為第二次商，即8a+7
為第二次商，同樣地，第二次商與8 相乘的積加上余數1 ，為第一次商，即8
（8a+7）+1為第一次商，第一次商與8 相乘的積加上余數1 ，為所求的自然數，
即8[8 （8a+7）+1]+1 為所求的自然數。

    同理，由（2 ）式得所求的自然數為17（2a 17+15）+4由此得方程8[8 （8a+7）
+1]+1=17（2a 17+15）+4 8（64a+57）+1=17 （34a+15）+4 512a+457=578a+259
66a=198 ∴a=3 因此，所求自然數為512a+457=512 3+457 =1993解法二依題意可
知所求的自然數有兩種表示方法：（1 ） @⑦①①（8 ） a<8（2 ）2a 15 ④
（17） 2a<17根據數的十進制與其他數的進制的互化關系，可知所求的自然數是
（1 ）a 83+7 82+1 81+1=512a+457 （2 ）2a 172+15 171+4=578a+259由此得 512a+457=578a+259
a=3 因此，所求的自然數為512a+457=512 3+457=1993 [ 注] 解法一根據" 被除
數= 除數商+ 余數" 的關系式，由最后的商逐步推回到原來的自然數，需要一定
的逆向思考能力，解法二要求小選手熟悉數的十進制與其他數進制之間的互化。

    13. 每人都要把手中的錢用完，而且盡可能多買幾本書，意即3 元一本的簡
裝書要盡量多買，4 元一本的精裝書要盡量少買甚至不買。

    我們分三種情況進行討論：（1 ）當錢數被3 整除時，精裝書就可以不買；
（2 ）當錢數被3 除余1 時，3k+1=3（k-1 ）+4，精裝書只要買1 本，其中k 為
大于2 的自然數。

    （3 ）當錢數被3 除余2 時，3k+1=3（k-2 ）+8，精裝書只要買2 本，其中
k 為大于2 的自然數。

    在10至50這41個自然數中，被3 除余1 和2 的數均各有14個。所以全班一共
買精裝書14+14 2=42（本）

    14. 因為73=343<1991<2401=74 ，不考慮余數，能用空瓶換三次汽水，由于
每7 個空瓶可換一瓶汽水，原有空瓶不一定能被7 整除，那么第二次以后換時要
考慮上一次的余數，最多能用空瓶換四次汽水。

    1991（1+）=1707.2825如果買1707瓶汽水，1707 7=243…6 可換243 瓶汽水，
（243+6 ） 7=35 …4 可換35瓶汽水，（35+4） 7=5…4 可換5 瓶汽水，（5+4 ）
7=1 …2 可換一瓶汽水，1+2<7 不能再換。1707+243+35+5+1=1991. 如果買1706
瓶，用空瓶換的數量不變，但1706+243+35+5+1=1990. 所以最少要買1707瓶汽水。