一、填空題1.某年的二月份有五個星期日，這年六月一日是星期_____. 2.
1989年12月5 日是星期二，那么再過十年的12月5 日是星期_____. 3. 按下面擺
法擺80個三角形，有_____ 個白色的。

    ……

    4.節日的校園內掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、
綠各一盞彩燈。也就是說，從第一盞白燈起，每一盞白燈后面都緊接著有3 盞彩
燈，小明想第73盞燈是_____ 燈。

    5.時針現在表示的時間是14時正，那么分針旋轉1991周后，時針表示的時間
是_____. 6. 把自然數1 ，2 ，3 ，4 ，5 ……如表依次排列成5 列，那么數"1992"
在_____ 列。

    第一列  第二列  第三列  第四列  第五列1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14
18 17 16 15 …  …  …  …  …

    …  …  …  …

    7.把分數化成小數后，小數點第110 位上的數字是_____. 8. 循環小數與 .
這兩個循環小數在小數點后第_____ 位，首次同時出現在該位中的數字都是7. 9.
一串數： 1，9 ，9 ，1 ，4 ，1 ， 4，1 ，9 ，9 ，1 ，4 ，1 ，4 ，1 ，9 ，
9 ，1 ，4 ，……共有1991個數。

    （1 ）其中共有_____ 個1 ，_____ 個9_____個4 ；（2 ）這些數字的總和
是_____. 10. 7 7 7…… 7所得積末位數是_____.

    50個

    二、解答題11. 緊接著1989后面一串數字，寫下的每個數字都是它前面兩個
數字的乘積的個位數。例如8 9=72，在9 后面寫2 ，9 2=18，在2 后面寫8 ，…

    …得到一串數字：1 9 8 9 2 8 6 ……

    這串數字從1 開始往右數，第1989個數字是什么？

    12. 1991個1990相乘所得的積與1990個1991相乘所得的積，再相加的和末兩
位數是多少？

    13. 設n=2 2 2 …… 2，那么n 的末兩位數字是多少？

    1991個14. 在一根長100 厘米的木棍上，自左至右每隔6 厘米染一個紅點，
同時自右至左每隔5 厘米也染一個紅點，然后沿紅點處將木棍逐段鋸開，那么長
度是1 厘米的短木棍有多少根？

---------------答 案----------------------

    1.二因為7 4=28，由某年二月份有五個星期日，所以這年二月份應是29天，
且2 月1 日與2 月29日均為星期日，3 月1 日是星期一，所以從這年3 月1 日起
到這年6 月1 日共經過了31+30+31+1=93 （天）。

    因為93 7=13 …2 ，所以這年6 月1 日是星期二。

    2.日依題意知，這十年中1992年、1996年都是閏年，因此，這十年之中共有
365 10+2=3652 （天）

    因為（3652+1） 7=521…6 ，所以再過十年的12月5 日是星期日。

    [ 注] 上述兩題（題1-題2 ）都是推斷若干天、若干月或若干年后某一天為
星期幾，解答這類問題主要依據每周為七天循環的規律，運用周期性解答。在計
算天數時，要根據" 四年一閏，整百不閏，四百年才又一閏" 的規定，即公歷年
份不是整百數時，只要是4 的倍數就是閏年，公歷年數為整百數時，必須是400
的倍數才是閏年。

    3. 39 從圖中可以看出，三角形按" 二黑二白一黑一白" 的規律重復排列，
也就是這一排列的周期為6 ，并且每一周期有3 個白色三角形。

    因為80 6=13 …2 ，而第十四期中前兩個三角形都是黑色的，所以共有白色
三角形13 3=39 （個）。

    4.白依題意知，電燈的安裝排列如下：白，紅，黃，綠，白，紅，黃，綠，
白，……這一排列是按" 白，紅，黃，綠" 交替循環出現的，也就是這一排列的
周期為4.由73 4=18 …1 ，可知第73盞燈是白燈。

    5. 13 時。

    分針旋轉一周為1 小時，旋轉1991周為1991小時。一天24小時，1991 24=82
…23，1991小時共82天又23小時�，F在是14時正，經過82天仍然是14時正，再過
23小時，正好是13時。

    [ 注] 在圓面上，沿著圓周把1 到12的整數等距排成一個圈，再加上一根長
針和一根短針，就組成了我們天天見到的鐘面。鐘面雖然是那么的簡單平常，但
在鐘面上卻包含著十分有趣的數學問題，周期現象就是其中的一個重要方面。

    6. 3仔細觀察題中數表。

    1 2 3 4 5 （奇數排）

    第一組9 8 7 6 （偶數排）

    10 11 12 13 14（奇數排）

    第二組18 17 16 15 （偶數排）

    19 20 21 22 23（奇數排）

    第三組27 26 25 24 （偶數排）

    可發現規律如下：（1 ）連續自然數按每組9 個數，且奇數排自左往右五個
數，偶數排自右往左四個數的規律循環排列；（2 ）觀察第二組，第三組，發現
奇數排的數如果用9 除有如下規律：第1 列用9 除余數為1 ，第2 列用9 除余數
為2 ，…，第5 列用9 除余數為5.（3 ）10 9=1…1 ，10在1+1 組，第1 列19 9=2
…1 ，19在2+1 組，第1 列因為1992 9=221…3 ，所以1992應排列在（221+1 ）

    =222組中奇數排第3 列數的位置上。

    7. 7 =0.57142857……

    它的循環周期是6 ，具體地六個數依次是5 ，7 ，1 ，4 ，2 ，8 110 6=18
…2 因為余2 ，第110 個數字是上面列出的六個數中的第2 個，就是7. 8. 35因
為0.1992517 的循環周期是7 ，0.34567 的循環周期為5 ，又5 和7 的最小公倍
數是35，所以兩個循環小數在小數點后第35位，首次同時出現在該位上的數字都
是7. 9. 853 ，570 ，568 ，8255. 不難看出，這串數每7 個數即1 ，9 ，9 ，
1 ，4 ，1 ，4 為一個循環，即周期為7 ，且每個周期中有3 個1 ，2 個9 ，2
個4.因為1991 7=284…3 ，所以這串數中有284 個周期，加上第285 個周期中的
前三個數1 ，9 ，9.其中1 的個數是：3 284+1=853 （個），9 的個數是2 284+2=570
（個），4 的個數是2 284=568 （個）。這些數字的總和為1 853+9 570+4 568=8255.
10. 9 先找出積的末位數的變化規律：71末位數為7 ，72末位數為9 ，73末位數
為3 ， 74 末位數1 ；75=74+1 末位數為7 ，76=74+2 末位數為9 ，77=74+3 末
位數為3 ，78= 末位數為1 ……

    由此可見，積的末位依次為7 ，9 ，3 ，1 ，7 ，9 ，3 ，1 ……，以4 為
周期循環出現。

    因為50 4=12 …2 ，即750=，所以750 與72末位數相同，也就是積的末位數
是9. 11.依照題述規則多寫幾個數字：1989286884286884……

    可見1989后面的數總是不斷循環重復出現286884，每6 個一組，即循環周期
為6.因為（1989-4） 6=330…5 ，所以所求數字是8. 12. 1991 個1990相乘所得
的積末兩位是0 ，我們只需考察1990個1991相乘的積末兩位數即可。1 個1991末
兩位數是91，2 個1991相乘的積末兩位數是81，3 個1991相乘的積末兩位數是71，
4 個至10個1991相乘的積的末兩位數分別是61，51，41，31，21，11，01，11個
1991相乘積的末兩位數字是91，……，由此可見，每10個1991相乘的末兩位數字
重復出現，即周期為10. 因為1990 10=199 ，所以1990個1991相乘積的末兩位數
是01，即所求結果是01. 13. n 是1991個2 的連乘積，可記為n=21991 ，首先從
2 的較低次冪入手尋找規律，列表如下：

    n n 的十位數字 n的個位數字 n n的十位數字 n的個位數字21 0 2 212 9 6
22 0 4 213 9 2 23 0 8 214 8 4 24 1 6 215 6 8 25 3 2 216 3 6 26 6 4 217 7 2
27 2 8 218 4 4 28 5 6 219 8 8 29 1 2 220 7 6 210 2 4 221 5 2 211 4 8 222 0 4

    觀察上表，容易發現自22開始每隔20個2 的連乘積，末兩位數字就重復出現，
周期為20. 因為1990 20=99…10，所以21991 與211 的末兩位數字相同，由上表
知211 的十位數字是4 ，個位數字是8.所以，n 的末兩位數字是48. 14. 因為100
能被5 整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色。于是我們可以看作是從同
一端點染色。

    6 與5 的最小公倍數是30，即在30厘米的地方，同時染上紅色，這樣染色就
會出現循環，每一周的長度是30厘米，如下圖所示。

    由圖示可知長1 厘米的短木棍，每一周期中有兩段，如第1 周期中，6-5=1 ，
5 5-6 4=1.剩余10厘米中有一段。所以鋸開后長1 厘米的短木棍共有7 段。綜合
算式為：2 [ （100-10） 30]+1 =2 3+1 =7（段）

    [ 注] 解決這一問題的關鍵是根據整除性把自右向左每隔5 厘米的染色，轉
化為自左向右的染色，便于利用最小公倍數發現周期現象，化難為易。