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五年級奧數題:奇數與偶數(B)

來源:育路教育網發布時間:2011-07-26 09:00:55

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 一、填空題1.五個連續奇數的和是85,其中最大的數是_____ ,最小的數是
_____. 2. 三個質數、、,如果 > >1 , + =,那么 =_____. 3. 已知a 、b 、
c 都是質數,且a+b=c ,那么a b c 的最小值是_____. 4. 已知a 、b 、c 、d
都是不同的質數,a+b+c=d ,那么a b c d 的最小值是_____. 5. a 、b 、c 都
是質數,c 是一位數,且a b+c=1993,那么a+b+c=_____. 6. 三個質數之積恰好
等于它們和的7 倍,則這三個質數為_____. 7. 如果兩個兩位數的差是30,下面
第_____ 種說法有可能是對的。

    (1 )這兩個數的和是57. (2 )這兩個數的四個數字之和是19. (3 )這
兩個數的四個數字之和是14. 8.一本書共186 頁,那么數字1 ,3 ,5 ,7 ,9
在頁碼中一共出現了_____ 次。

    9.筐中有60個蘋果,將它們全部取出來,分成偶數堆,使得每堆的個數相同,
則有_____ 種分法。

    10. 從1 至9 這九個數字中挑出六個不同的數,填在下圖所示的六個圓圈內,
使任意相鄰兩個圓圈內數字之和都是質數。那么最多能找出_____ 種不同的挑法
來。(六個數字相同,排列次序不同算同一種)

    二、解答題11. 在一張9 行9 列的方格紙上,把每個方格所在的行數和列數
加起來,填在這個方格中,例如a=5+3=8.問:填入的81個數字中,奇數多還是偶
數多?

    1 2 3 4 5 6 7 8 9

    12. 能不能在下式:1 2 3 4 5 6 7 8 9=10的每個方框中,分別填入加號或
減號,使等式成立?

    13. 在八個房間中,有七個房間開著燈,一個房間關著燈。如果每次同時撥
動四個房間的開關,能不能把全部房間的燈關上?為什么?

    14. 一個工人將零件裝進兩種盒子中,每個大盒子裝12只零件,每個小盒子
裝5 只零件,恰好裝完。如果零件一共是99只,盒子個數大于10,這兩種盒子各
有多少個?

---------------答 案----------------------

    1. 21 ,13這五個數的中間數85 5=17 ,可知最大數是21,最小數是13. 2.
2 因為 > >1 , + =,所以 > > .這里的關鍵是明確質數除2 以外都是奇數,假
如不等于2 ,則它一定是奇數,那么 + =偶數,顯然這個偶數不會是質數。所以,
一定等于2. 3. 30因為所有的質數除2 以外都是奇數,題中a+b=c ,仿上題,由
數的奇偶性可以推知a=2 ,b ,c 都是質數,根據a b c 的值最小的條件,可推
知b=3 ,c=5 ,所以a b c 的最小值是2 3 5=30. 4. 3135 在所有質數中除2 是
偶數以外,其余的都是奇數,如果a ,b ,c ,d 中有一個為2 ,不妨設a=2 ,
則b ,c ,d 均為奇數,從而a+b+c 為偶數,不符合條件a+b+c=d ,所以a ,b ,
c ,d 都是奇數。再根據a b c d 的值最小的條件,可推知a=3 ,b=5 ,c=11,
d=19. 因此a b c d 的最小值為3 5 11 19=3135. 5. 194由a b+c=1993知,a b
與c 奇偶性不同。當a b 為偶數,c 為奇數時,c 的值為3 、5 或7 ,不妨設b
為2 ,則a 的值為995 ,994 或993.因為995 、994 、993 都不是質數,所以不
合題意舍去。當a b 為奇數,c 為偶數時,c=2 ,a b=1991,1991=11 181 ,從
而a 的值是11(或181 ),b 的值是181 (或11)。2 、11、181 均為質數符合
題意。所以a+b+c=2+11+181=194. 6. 3,5 ,7 依題意,設三個質數為X ,Y ,
Z ,則X+Y+Z=,這樣三個質數必定有一個質數是7.如果X=7 ,則Y Z=Y+Z+7 ,即
Y Z-(Y+Z )=7. 根據數的奇偶性:偶- 奇= 奇;奇- 偶= 奇,進行討論。

    當Y Z 為偶數, Y+Z為奇數時,則Y (或Z )必定是2 ,從而有2 3-(2+3 )

    =1,2 5-(2+5 )=3,2 11- (2+11)=9,……均不符合條件。

    當Y Z 為奇數, Y+Z為偶數時,則Y 、Z 均為奇數。若Y=3 ,Z=5 ,則3 5-
(3+5 )=7,符合條件。

    所以,這三個質數分別是3 ,5 和7. [注] 以上五題(題2-題6 )都是質數
與奇偶數的性質求解" 小、巧、活" 的例子。尤其要注意2 是所有質數中唯一的
偶數這一特征。命題者常在此涉足。

    7.(2 )

    因為兩個兩位數的差是30,所以這兩個兩位數一定都是奇數,或都是偶數
(因為只有偶數- 偶數= 偶數、奇數- 奇數= 偶數),且偶數+ 偶數= 偶數,奇
數+ 奇數= 偶數,所以第(1 )種說法顯然不對。因為差是30,所以它們的個位
數字相同,那么相加一定是偶數;又差的十位數字是奇數,故兩個兩位數的十位
數字一定是一奇一偶。通過以個分析,可得出:兩個兩位數的四個數字相加之和
肯定是奇數,而不是偶數,所以第(3 )種說法也是錯的。第(2 )種說法有可
能對。

    [ 注] 在排除第一種說法不對時,也可直接運用整數的奇偶性質:兩個整數
的和與差有相同的奇偶性,即設a ,b 為整數,那么a+b 與a-b 有相同的奇偶性。

    證明(a+b )+ (a-b )=2a 為一偶數,所以a+b 與a-b 的奇偶性相同。

    這條性質在處理奇偶性問題中用途很廣。

    8. 270因為1 ,3 ,5 ,7 ,9 為連續奇數,分別算出186 頁總頁碼中個位、
十位、百位上出現的奇數次數,再相加后所得的奇數總和即為數字1 ,3 ,5 ,
7 ,9 在頁碼中一共出現的總次數。

    從1-186 ,個位上出現的奇數為186 2=93(次);從10-186,十位上出現的
奇數為10 9=90 (次);從100-186 ,百位上出現的奇數為186-100+1=87(次)。

    所以,186 頁書中1 ,3 ,5 ,7 ,9 在頁碼中一共出現了93+90+87=270
(次)

    9. 8由于" 每堆個數相同" 且" 分成偶數堆" 知本題是要求60的偶因子的個
數,因為每個偶因子對應于一種符合條件的分法,60的偶因子有:2 ,4 ,6 ,
10,12,20,30和60,所以有8 種分法。

    10. 17在所有質數中,除2 是偶數外,其余是奇數。由所給出的數字,根據
數的奇偶性質可知,六個數必定三偶三奇間隔排列。這樣,按三個偶數的4 種排
列列舉如下:

    2___4___6___: 2,1 ,4 ,7 ,6 ,5 , 2,3 ,4 ,1 ,6 ,5 , 2,
3 ,4 ,7 ,6 ,5 , 2,3 ,4 ,7 ,6 ,1 , 2,9 ,4 ,1 ,6 ,5 , 2,
9 ,4 ,7 ,6 ,1 , 2,9 ,4 ,7 ,6 ,5 ,共七種;2 4 8___: 2,1 ,
4 ,3 ,8 ,5 , 2,1 ,4 ,3 ,8 ,9 , 2,1 ,4 ,9 ,8 ,5 , 2,3 ,
4 ,9 ,8 ,5 共四種;2___6___8___: 2,1 ,6 ,5 ,8 ,3 , 2,1 ,6 ,
5 ,8 ,9 兩種;4___6___8___: 4,1 ,6 ,5 ,8 ,3 , 4,1 ,6 ,5 ,
8 ,9 ,4 ,7 ,6 ,5 ,8 ,3 , 4,7 ,6 ,5 ,8 ,9 共四種。

    所以,最多能找出17種不同的排列。

    [ 注] 也可以按照三個奇數的10種排列(例如:1___3___5___,1___3___7___,
1___3___9___,……)將偶數2 ,4 ,6 ,8 填入空位,同樣也有17種不同的排
列。實質上,我們只要把上述的17種排列的每一種,按適當的輪換方法即得。例
如,2 ,1 ,4 ,3 ,8 ,5 1 ,4 ,3 ,8 ,5 ,2. 11.根據自然數和的奇偶
性:奇數+ 奇數= 偶數,偶數+ 偶數= 偶數,奇數+ 偶數= 奇數,知,第一行填
的數中偶數比奇數多1 個,第二行填的數中偶數比奇數少1 個,第三得填的數中
偶數比奇數多1 個,第四行填的數中偶數比奇數少1 個,……

    可見,前8 行中奇數和偶數的個數一樣多,而第九行中偶數多。所以,81個
數字中偶數多。

    12. 由題7 評注知,在一個只有加減法運算的自然數式子中,如果把式子中
減法運算改成加法運算,那么所得結果的奇偶性不變。因此無論在給出的式子每
個方框中怎樣填加減號,所得結果的奇偶性,與在每個方框中都填入加號所得結
果的奇偶性一樣。但是,每個方框中都填入加號所得結果是45,是個奇數。而式
子的右邊是10,是個偶數。也就是說從奇偶性上判斷,要使題中式子成立是不可
能的。

    13. 不能。

    先看亮著燈的房間,每個房間的開關撥奇數次為關燈,奇數個奇數之和為奇
數,需撥奇數次。

    再看關著燈的那個房間,需撥偶數次為關燈。

    所以,為使全部房間關燈,撥動開關總次數為奇數。

    現在每次只能撥動四只開關(偶數次),所以,撥動的總次數只能為偶數。

    綜合以上兩方面知,不能把全部房間的燈關上。

    14. 根據每個大盒子裝12只零件,不管大盒子個數是奇數還是偶數,由12偶
= 偶,12奇= 偶,可知大盒子所裝零件總只數是偶數,根據99- 大盒子所裝零件
總只數= 小盒子所裝零件總只數可知,小盒子所裝零件總只數是奇數,且能被5
整除。

    這樣,小盒子所裝零件總只數的個位數必定是5 ,則大盒子所裝零件總只數
的個位數必定是4 ,由2 2=4 ,2 7=14,那么大盒子個數是2 個或7 個兩種可能,
相應小盒子個數是15或3 個。

    因為7+3=10(不合題意舍去),所以這個工人用了2 個大盒子,15個小盒子。

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