公務員考試培訓網

　　在公務員考試的數量關系模塊中，考生經常會遇到余數相關的問題，很多考生對此類題目感覺無從下手，華圖教研中心的老師針對最常見的幾類題目給予分析，讓余數問題不再是困擾您的難題。

　　一、余數關系式和恒等式的應用

　　余數的關系式和恒等式比較簡單，但余數的范圍(0≤余數＜除數)需要引起大家足夠的重視，因為這是某些題目的突破口。

　　余數基本關系式：被除數÷除數=商…余數(0≤余數＜除數)

　　余數基本恒等式：被除數=除數×商＋余數

　　【例1】兩個整數相除，商是5，余數是11，被除數、除數、商及余數的和是99，求被除數是多少？(    )

　　A.12                   B.41                    C.67                    D.71

　　【解析】余數是11，因此，根據余數的范圍(0≤余數＜除數)，我們能夠確定除數＞11。除數為整數，所以除數≥12，根據余數的基本恒等式：被除數=除數×商＋余數≥12×商＋余數=12×5＋11=71，因此被除數最小為71，選D。

　　【例2】有四個自然數A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個自然數的和是？

　　A.216                       B. 108                         C. 314                        D. 348

　　【解析】利用余數基本恒等式：被除數=除數×商＋余數，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然數，于是A可以被5整除，同理，A還可以被6、7整除，因此，A可以表示為5、6、7的公倍數，即210n。由于A、B、C、D的和不超過400，所以A只能等于210，從而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，選C。

　　二、同余問題

　　這類問題在考試中比較常見，主要是從除數與余數的關系入手，來求得最終答案。

　　【例3】一個數除以4余1，除以5余1，除以6余1，請問這個數如何表示？

　　【解析】設這個數為A，則A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A－1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍數為60，所以A－1就可以表示為60n，因此，A=60n+1。

　　結論：如果一個被除數的除數不同，余數相同，那么這個數的通項公式可以表示為幾個除數的公倍數加上除數共同的余數。

　　【例4】一個數除以4余3，除以5余2，除以6余1，請問這個數如何表示？

　　【解析】設這個數為A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，那么會有A=4n1+3，A=5n2+2，A=6n3+1。其中，A=4n1+3=4(n1－1)+4+3=4(n1－1)+7，同理，A=5(n2－1)+7，A= 6(n3－1)+7，根據【例3】的結論，A= 60n+7。

　　結論：如果一個被除數的除數不同，除數與余數的和相等，那么這個數的通項公式可以表示為幾個除數的公倍數加上除數與余數的和。

　　【例5】一個數除以4余1，除以5余2，除以6余3，請問這個數如何表示？

　　【解析】設這個數為A，如果A除以4余1，除以5余2，除以6余3，那么會有A=4n1+1，A=5n2+2，A=6n3+3。其中，A=4n1+1=4(n1+1)－4+3=4(n1+1)－1，同理，A=5(n2+1)－1，A= 6(n3+1)－1，根據【例3】的結論，A= 60n－1。

　　結論：如果一個被除數的除數不同，除數與余數的差相等，那么這個數的通項公式可以表示為幾個除數的公倍數減去除數與余數的差。

　　根據以上三道例題的結論，我們還可以舉一反三地解決其他相關問題。如：

　　【例6】自然數P滿足下列條件：P除以10的余數為9，P除以9的余數為8，P除以8的余數為7。如果：100<P<1000，則這樣的P有幾個？

　　A。不存在   

　　B.1個     C.2個        D.3個

　　【解析】幾個除數與對應余數的差相同，均為1，根據【例5】的結論，P=360n－1，由于100<P<1000，所以n取1、2時滿足題意，所以，P有2個，選C。

　　【例7】一個三位數除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數共有多少個？

　　A.5個         B. 6個    C. 7個    D. 8個

　　解析：除以5余2，除以4余3，我們知道除數與對應余數的和相同，根據【例4】的結論，這個數可以表示為，P=20n1+7，除以9余7，說明P=9n2+7，再根據【例3】的結論，我們得到這個數可以表示為180n+7，由于這個數為三位數，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5個。

　　綜上所述，考生只需要掌握余數的基本關系式和恒等式、熟悉同余問題的解決方法，清楚對公倍數(或最小公倍數)的求法，再遇到常見的余數問題，就能輕松又快速地解決掉。